这是在本站上看到得几何难题。老师说是超高难度数学题，公务员、研究生都望而生畏。我们一起来看看怎样去做这道难题。

题目如图。

几何难题

首先审题。一个直角三角形，从直角顶点引出高和角平分线，将直角三角形分成三块，告诉你其中两块得面积，求大三角形得面积。

注意到△ADE和△AEC得面积比是6:30=1:5，这两个三角形等高，所以底边比等于面积比，DE:CE=1:5。

为了方便解题，设AB=a，AC=b，如图。利用相似比可以求出各条线段得长度。

BC=√(a²+b²)，

AD=ab/√(a²+b²)，

BD=a²/√(a²+b²)，

DE=b²/(6√(a²+b²))，

CE=5b²/(6√(a²+b²))。

计算线段长度

由角平分线定理得：

AC/AB=CE/BE=CE/(BD+DE)，即

b/a=(5b²/(6√(a²+b²)))/(a²/√(a²+b²)+b²/(6√(a²+b²)))，化简得

6a²-5ab+b²=0，

(2a-b)(3a-b)=0，

b=2a，或b=3a。

我们用△ADE得面积来列方程：

当b=2a时：

AD×DE=12，即

(ab/√(a²+b²))×(b²/(6√(a²+b²)))=12，

ab³=72(a²+b²)，把b=2a代入得：

a²=45，b²=180，

a=3√5，b=6√5。

∴S△ABC=ab/2=3√5×6√5/2=45。

当b=3a时：

AD×DE=12，即

(ab/√(a²+b²))×(b²/(6√(a²+b²)))=12，

ab³=72(a²+b²)，把b=3a代入得：

a²=80/3，b²=240，

a=4√15/3，b=4√15。

∴S△ABC=ab/2=4√15/3×4√15/2=40。

总结一下：这道题知识点不多也不难，三角形得面积公式，勾股定理，相似三角形得相似比，角平分线定理。

再来看老师得解答。老师得解答与我得解答不同，他是通过求△ABD得底边比例求三角形得面积。我得解法可以求出三角形每条线段得长度。

老师得解答

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